進制轉換,在高速發展的現代社會,計算機浩浩蕩蕩地成為了人們生活中不可缺少的一部分,幫助人們解決通信,聯絡,互動等各方面的問題。今天我就給大家講講與計算機甚至日常生活有密切相關的“進制轉換”問題。

正數進制轉換算法:
我們以(25.625)(十)為例講解一下進制之間的轉化問題。
十進制--->二進制
對于整數部分,用被除數反復除以2,除第一次外,每次除以2均取前一次商的整數部分作被除數并依次記下每次的余數。另外,所得到的商的最后一位余數是所求二進制數的最高位。

十進制轉,N進制。
對于小數部分,采用連續乘以基數2,并依次取出的整數部分,直至結果的小數部分為0為止。故該法稱“乘基取整法”。
給你一個十進制,比如:6,如果將它轉換成二進制數呢?
10進制數轉換成二進制數,這是一個連續除以2的過程:
把要轉換的數,除以2,得到商和余數,
將商繼續除以2,直到商為0。最后將所有余數倒序排列,得到數就是轉換結果。
聽起來有些糊涂?結合例子來說明。比如要轉換6為二進制數。
“把要轉換的數,除以2,得到商和余數”。
那么:

十轉二示意圖
要轉換的數是6, 6 ÷ 2,得到商是3,余數是0。
“將商繼續除以2,直到商為0……”
現在商是3,還不是0,所以繼續除以2。
那就: 3 ÷ 2, 得到商是1,余數是1。
“將商繼續除以2,直到商為0……”
現在商是1,還不是0,所以繼續除以2。
那就: 1 ÷ 2, 得到商是0,余數是1
“將商繼續除以2,直到商為0……最后將所有余數倒序排列”
好極!現在商已經是0。
我們三次計算依次得到余數分別是:0、1、1,將所有余數倒序排列,那就是:110了!
6轉換成二進制,結果是110。
把上面的一段改成用表格來表示,則為:

(在計算機中,÷用 / 來表示)
二進制--->十進制
二進制數轉換為十進制數
二進制數第0位的權值是2的0次方,第1位的權值是2的1次方……
所以,設有一個二進制數:0110 0100,轉換為10進制為:
下面是豎式:
0110 0100 換算成十進制
第0位 0 * 20 = 0
第1位 0 * 21 = 0
第2位 1 * 22 = 4
第3位 0 * 23 = 0
第4位 0 * 24 = 0
第5位 1 * 25 = 32
第6位 1 * 26 = 64
第7位 0 * 27 = 0
公式:第N位2(N)
---------------------------
100
用橫式計算為:
0 * 20 + 0 * 21 + 1 * 22 + 0 * 23 + 0 * 24 + 1 * 25 + 1* 26 + 0 * 27 = 100
0乘以多少都是0,所以我們也可以直接跳過值為0的位:
1 * 22 + 1 * 25 +1*26 = 100
十進制--->八進制
10進制數轉換成8進制的方法,和轉換為2進制的方法類似,唯一變化:除數由2變成8。
來看一個例子,如何將十進制數120轉換成八進制數。
用表格表示:
被除數計算過程商余數
120 120/815 0
15 15/8 1 7
1 1/80 1
120轉換為8進制,結果為:170。
八進制--->十進制
八進制就是逢8進1。
八進制數采用 0～7這八數來表達一個數。
八進制數第0位的權值為8的0次方,第1位權值為8的1次方,第2位權值為8的2次方……
所以,設有一個八進制數:1507,轉換為十進制為:
用豎式表示:
1507換算成十進制。
第0位 7 * 80 = 7
第1位 0 * 81 = 0
第2位 5 * 82 = 320
第3位 1 * 83 = 512
--------------------------
839
同樣,我們也可以用橫式直接計算:
7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839
結果是,八進制數 1507 轉換成十進制數為 839
十進制--->十六進制
10進制數轉換成16進制的方法,和轉換為2進制的方法類似,唯一變化:除數由2變成16。
同樣是120,轉換成16進制則為:

被除數計算過程商余數
120 120/16 7 8
7 7/16 0 7

120轉換為16進制,結果為:78。
十六進制--->十進制
16進制就是逢16進1,但我們只有0~9這十個數字,所以我們用A,B,C,D,E,F這六個字母來分別表示10,11,12,13,14,15。字母不區分大小寫。
十六進制數的第0位的權值為16的0次方,第1位的權值為16的1次方,第2位的權值為16的2次方……
所以,在第N(N從0開始)位上,如果是是數 X (X 大于等于0,并且X小于等于 15,即:F)表示的大小為 X * 16的N次方。
假設有一個十六進數 2AF5, 那么如何換算成10進制呢?
用豎式計算:
2AF5換算成10進制:
第0位: 5 * 160 = 5
第1位: F * 161 = 240
第2位: A * 162 = 2560
第3位: 2 * 163 = 8192
-------------------------------------
10997
直接計算就是:
5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997
(別忘了,在上面的計算中,A表示10,而F表示15)
現在可以看出,所有進制換算成10進制,關鍵在于各自的權值不同。
假設有人問你,十進數 1234 為什么是 一千二百三十四?你盡可以給他這么一個算式:
1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100
二進制--->八進制
(11001.101)(二)
整數部分:[1]從后往前每三位一組,缺位處用0填補,然后按十進制方法進行轉化, 則有:
001=1
011=3
然后我們將結果按從下往上的順序書寫就是:31,那么這個31就是二進制11001的八進制形式
小數部分: 從前往后每三位一組,缺位處用0填補,然后按十進制方法進行轉化, 則有:
101=5
然后我們將結果部分按從上往下的順序書寫就是:5,那么這個5就是二進制0.101的八進制形式
所以:(11001.101)2=(31.5)8
八進制--->二進制
(31.5)(八)
整數部分:從后往前每一位按十進制轉化方式轉化為三位二進制數,缺位處用0補充 則有:
1---->1---->001
3---->11
然后我們將結果按從下往上的順序書寫就是:11001,那么這個11001就是八進制31的二進制形式
說明,關于十進制的轉化方式我這里就不再說了,上一篇文章我已經講解了!
小數部分:從前往后每一位按十進制轉化方式轉化為三位二進制數,缺位處用0補充 則有:
5---->101
然后我們將結果按從下往上的順序書寫就是:101,那么這個101就是八進制5的二進制形式
所以:(31.5)8=(11001.101)2
十六進制<--->二進制
二進制和十六進制的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算,每個C,C++程序員都能做到看見二進制數,直接就能轉換為十六進制數,反之亦然。
我們也一樣,只要學完這一小節,就能做到。
首先我們來看一個二進制數:1111,它是多少呢?
你可能還要這樣計算:1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
然而,由于1111才4位,所以我們必須直接記住它每一位的權值,并且是從高位往低位記,:8、4、2、1。即,最高位的權值為23 = 8,然后依次是 22 = 4,21=2, 20 = 1。
記住8421,對于任意一個4位的二進制數,我們都可以很快算出它對應的10進制值。
下面列出四位二進制數xxxx 所有可能的值(中間略過部分)

僅四位的二進制數快速計算方法十進制值十六進制值
1111 8+4+2+1 15 F
11108+4+2+014E
11018+4+0+113D
11008+4+0+012C
10118+0+2+111B
10108+0+2+010A
10018+0+0+19 9
……
0001 0+0+0+11 1
00000+0+0+0 0 0
二進制數要轉換為十六進制,就是以4位一段,分別轉換為十六進制。
如:
二進制數1111 11011010 01011001 1011
對應的十六進制數FDA59B
反過來,當我們看到 FD時,如何迅速將它轉換為二進制數呢?
先轉換F:
看到F,我們需知道它是15(可能你還不熟悉A～F這五個數),然后15如何用8421湊呢?應該是8 + 4 + 2 + 1,所以四位全為1 :1111。
接著轉換 D:
看到D,知道它是13,13如何用8421湊呢?應該是:8 + 4 + 1,即:1101。
所以,FD轉換為二進制數,為: 1111 1101
由于十六進制轉換成二進制相當直接,所以,我們需要將一個十進制數轉換成2進制數時,也可以先轉換成16進制,然后再轉換成2進制。
比如,十進制數 1234轉換成二制數,如果要一直除以2,直接得到2進制數,需要計算較多次數。所以我們可以先除以16,得到16進制數:
被除數計算過程商余數
1234 1234/16 77 2
77 77/16 413(D)
4 4/16 0 4
結果16進制為: 0x4D2
然后我們可直接寫出0x4D2的二進制形式: 0100 1101 0010。
其中對映關系為:
0100 -- 4
1101 -- D
0010 -- 2
同樣,如果一個二進制數很長,我們需要將它轉換成10進制數時,除了前面學過的方法是,我們還可以先將這個二進制轉換成16進制,然后再轉換為10進制。
下面舉例一個int類型的二進制數:
01101101 11100101 10101111 00011011
我們按四位一組轉換為16進制: 6D E5 AF 1B
再轉換為10進制:6*167+D*166+E*165+5*164+A*163+F*162+1*161+B*160=1,843,769,115